Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

数学月曜日:三角トライアルラン

前回の目標を思い出してください。それぞれのボールは正二十面体で、黄色のコネクターは正八面体で、隣接する二十面体と向き合っていることを除いて、写真の構造を構築することを思い出してください。当然、私が最初に考えたのは、これを行うためにPolyPuzzlesのピースを使用することでした。しかし、これに取り組むことで私は統計を検討するようになりました。構造の外側のボール(の中心)(図の緑色のボール)は正12面体の頂点にあり、黒いボールはそれぞれその12面体の対応する面の中心にありますが、全体的な構造の中心。接続された二十面体の中心間の間隔はすべて同じです。つまり、構造の全体的な形は、頂点ごとに1つの正二十面体とエッジごとに1つの八面体を持つ、掘削された12面体の形式です。したがって、32個の正二十面体と60個の八面体があります。コンポーネント間の接合部で面を使用しない場合でも(欠けている各面のタブが互いに噛み合うことができます)、17の三角形を使用する20の正二十面体、15の60を使用する12の正二十面体、60の正八面体があります。それぞれ6面を使用してください。それはこの構造を作るために接続されなければならない合計880の三角形を作ります。それぞれの破片を打ち抜き、それぞれのフラップを折り曲げてから定位置に固定するのは、一片につきおよそ2、3分かかりました。だから私は全体の構造のために1000から2000分(16から33時間)の間のどこかに投影することができた。 PolyPuzzleは美しい結果を生み出しますが、この規模のものには複雑すぎました(とにかく私の忍耐予算で)。

頭に浮かぶ次の可能性は古典的な幾何学的なおもちゃ、ポリドロンでした。この玩具は、隣接するピースの間に一種の蝶番を付けたような接続を作り出す連結エッジを持つ多角形のタイルで構成されています。たとえば、6つの三角形が一列に並んでいて、2つの端を取り付けることができるようにきちんと包み込まれており、八面体(反対側の面がない)がコネクタとして使用されています。

私たちはそれらのうち60が必要だと述べましたか?

次のステップは、発掘された十二面体の五角形の面のいくつかを組み立てることでした。ポリドロンを使用すると、一度構築した構造物の内部に到達することはできないため、これらの八面体のリングを三角形で接続するのが最善のようです。赤い三角形は、最終的には面心二十面体の一部になります。統計を見直すと、そのうち12個が必要です。

次に、それらのリングを接続し始める時が来ました。それらのうちの3つは、全体の12面体構造の各頂点に集まります。

しばらくの間、物事はそれぞれの最終的な接合部でちょうど3つのリングを接続することでかなりうまくいっているように見えました、そのように。

しかし、上の写真のすぐ後に、構造全体が絶望的に​​フロッピーになり、それがばらばらになったときに多数の接合部で切断し始めました。そのため、2回目の試行では、隣接する二十面体に進む前に、各二十面体の詳細を埋め、最終的に5つの三角形の「キャップ」のためのスポットを残しました。

これははるかに堅い構造および安定した造りにつながった。それから私が与えられた二十面体にすべての接続をした時、

私はそれを完成するためにその上限を追加することができました。

この時点で、5ウェイ20面体の2段目を追加し始めるのに十分安定していました。

物事は今や着実に進んでいます。これは、上段に3つの正二十面体があり、第1段目にあるものの多くが上限を超えているモデルです。

そしてここでは、構造の最上部に最後の5方向20面体を追加する直前と直後です。

残ったのは、最後の中央の二十面体を締めくくり、それを囲む5つの緑色の二十面体を完成させることだけでした。残念ながら、その時点でこれらの5つの正二十面体のうちの最初のものの中で日常的な接続のように見えたことを実行しながら、より低い層のいくつかの接続はモデルの累積重みの下で道を譲りました。その裂け目は自己分解の連鎖反応を引き起こし、床の上にポリドロンの様々なストリップと深刻に破壊された構造をもたらしました。

それで、近づいているにもかかわらず、それはモデルを造るためのこの媒体もまたうまくいくつもりではなかったようでした。それを構築するための他の手段を見つける必要があるでしょう…来週のコラムの主題に至ります。

脚注として、しかし、私は終わり近くに崩壊の可能性を知っていて十分な繊細さを持って作業している誰かがPolydronと一緒にハングアップするために完全に掘られた12面体を得ることができる可能性があると言いたいです。さらに、Polydronはこれらのようなフレームワークも提供しています。これは非常に軽量です。フレームワークを十分に供給すれば、この構造全体を組み立てることが可能になることを疑いません。

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